Equações quínticas, remédio de doido e torres de marfim

Um probleminha que enfrentei enquanto estava tomando antidepressivos (carinhosamente apelidado de "remédio de doido" em diversos posts anteriores) é a remoção da ansiedade. Alguns cientistas afirmam que o único efeito de tais remédios é mesmo esse.

Embora seja incrivelmente agradável não sentir ansiedade (compreendo perfeitamente por que alguém ficaria tomando antidepressivos a vida inteira, sem precisar), o fato é que ela é matéria-prima de vários traços da personalidade, como a preocupação, a previdência etc. No meu caso, o exemplo mais patente foi que eu estava me tornando um mau motorista. Sem ansiedade, não se antecipa os riscos de forma "instintiva". Você passa a acreditar que "tudo vai dar certo", e aceita correr riscos muito maiores.

Outra característica minha cuja matéria-prima é ansiedade, é a curiosidade intelectual. Muitas e muitas vezes eu fucei os comos e porquês de alguma coisa por pura ansiedade: "eu PRECISO saber como esse troço funciona!". "Eu preciso AO MENOS entender essa coisa antes de morrer!". Às vezes isso é bom, às vezes é mau. Muitas vezes aprendi coisas que depois me foram úteis. E em outras tantas absorvi informação que é uma torre de marfim particular, que nunca me vai ser útil. Não para ganhar dinheiro, pelo menos.

Coisas que não despertam minha curiosidade/ansiedade, eu tenho dificuldade em assimilar. Por conta desse processo de aprendizado, já pensei comigo mesmo várias vezes que não sou lá muito inteligente, sou apenas esforçado. Minha diferença em relação a uma pessoa dita "burra" seriam apenas entusiasmo e obsessão.

Bem, como eu não fiquei burro enquanto tomei antidepressivo, a coisa não é tão radical assim. Mas sem "aquela" ansiedade, eu nunca estaria correndo atrás de um certo assunto: equações quínticas e teorema de Abel-Ruffini. Depois de muito murro em ponta de faca, eu acho que entendi a essência do negócio.

Este teorema afirma que não existe solução algébrica para equações do quinto grau e acima. Naturalmente, as soluções existem (toda equação algébrica tem, seja qual for o grau; Gauss provou isso), só que elas não são determináveis por uma fórmula algébrica simples. Por "simples" ou "algébrica" entenda uma fórmula que tenha uma quantidade finita de adições, subtrações, multiplicações, divisões e raízes até o grau da equação.

Equações algébrica têm interessantes características de simetria. Tome por exemplo uma equação do 2o grau, daquelas que todos nós tivemos de mastigar na 8a série:

x + bx + c = 0

Conforme provado por Gauss, este polinômio pode ser fatorado em diversos polinômios de 1o grau:

(x - x1)(x - x2) = 0

Como ficou óbvio, x1 e x2 são as raízes da equação, pois quando "x" iguala-se a um destes dois valores, o fator vira zero, resultando em que a expressão inteira retorne zero.

Também aprendemos a achar as raízes em função dos coeficientes, com a fórmula de Báscara:

x1, x2 = (-b +/- (b² - 4c)^1/2) / 2

Uma coisa que até foi mostrada em sala de aula, mas não foi estressada, foi a fórmula inversa, ou seja, expressar os coeficientes em função das raízes (facilmente obteníveis multiplicando-se os termos do polinômio fatorado):

-b = x1 + x2
c = x1.x2

Note que são fórmulas muito mais simples que a de Báscara. Mais importante, são fórmulas SIMÉTRICAS. Podemos fazer qualquer permutação entre as raízes, que os resultados são sempre os mesmos. Isto vale para coeficientes de qualquer grau.

Conforme diz o livro "Abel's Proof", de Peter Pesic, existe um "estresse" aqui. Achar os coeficientes em função das raízes é fácil e usa fórmulas simples, simétricas, racionais. Já achar as raízes em função dos coeficientes envolve fórmulas assimétricas, complicadas, irracionais.

(Por racionais entenda as fórmulas que usam apenas as 4 operações aritméticas, bem como potências inteiras, que não passam de multiplicações. Já as equações irracionais envolvem raízes de diversos graus.)

A prova de Abel consiste em várias partes. A primeira parte consiste em provar que toda solução algébrica para uma equação algébrica de grau "m" pode ser expressa na forma

x = p + R + p2.R^1/m + p3.R^2/m + ... p(m).R^(m-1)/m

p, p2, p3... = funções racionais dos coeficientes
R = uma função irracional dos coeficientes

Podemos encaixar facilmente as soluções de equações de 2o, 3o e 4o grau nesta forma. No caso de Báscara, m=2, então a fórmula genérica fica muito simples:

x = p + R^1/2

p = -b/2
R = b²/4-c

Um outro detalhe é que consideramos apenas a raiz positiva de R^1/2. Para obter os outros valores de "x", multiplicamos R pela "raiz primitiva de 1", que é -1. Denominando A=1^1/2=-1, temos

x2 = p + A.R

o que simplesmente faz o papel do +/- da fórmula de Báscara.

Denominamos -1 a raiz quadrada "primitiva" de 1, pois ela não é a raiz trivial (1), e mesmo assim atende à definição A²=1. As raizes cúbicas primitivas de 1 são:

(-1-3^1/2i)/2
(-1+3^1/2i)/2

A raiz primitiva tem outra vantagem: elevando-a ao quadrado, cubo etc. consegue-se obter todas as outras. Assim podemos definir as raízes cúbicas de 1 da seguinte forma:

A = (-1-3^1/2i)/2
A² = (-1+3^1/2i)/2
A³ = 1

Fomos ensinados no ensino fundamental que, por exemplo, a raiz quadrada de 16 pode ser +4 ou -4. Na verdade podemos pensar diferente: a raiz quadrada de 16 é sempre +4, porém a raiz da unidade "oculta" pode ser +1 ou -1 (sempre podemos pensar que 16 = 1 x 16). Naturalmente, -1 x 4 =-4.

Voltando à solução genérica de equações polinomiais...

Note que esta solução "genérica" não desmerece os trabalhos de Báscara, Cardano e outros, que encontraram soluções para as equações de 2o, 3o e 4o grau. Achar as equações de "p" e "R" ainda é difícil, e exige basicamente os mesmos passos das deduções originais de Báscara e Cardano. O conceito de solução genérica foi introduzido apenas para provar que não existe solução para o 5o grau.

O primeiro "pulo do gato" de Abel foi provar que a função R^1/m, com raiz e tudo, pode ser expressa por uma função racional DAS RAÍZES. Tomando novamente o exemplo de Báscara:

R = b²/4.c
-b = x1 + x2
c = x1.x2

então

R = (x1² + 2.x1.x2 + x2² - 4.x1.x2)/4
R = (x1² - 2.x1.x2 + x2²)/4
R = (x1 - x2)²/4
R^1/2 = (x1 - x2)/2

Note que a raiz do discriminante de Báscara vira simplesmente a diferença entre as raízes. A raiz quadrada desaparece. Para encontrarmos x2, basta multiplicar R pela raiz de 1 (A=-1):

R para x2 = A.R = (-1).(x1 - x2)/2 = (x2 - x1)/2

Note que multiplicar R por -1 equivale a permutar as raízes x1 e x2. Isso parece óbvio aqui, já que trata-se apenas de multiplicar por -1. Mas este truque mantém-se para equações cúbicas, muito embora a raiz cúbica de -1 seja um número complexo.

O segundo "pulo do gato" de Abel foi este: estabelecer que a função R^1/m retorne exatamente "m" valores, dadas todas as permutações possíveis das raízes.

O terceiro pulo foi provar que R tem de possuir uma certa simetria. Naturalmente R não pode ser uma função totalmente simétrica, porque assim ela retornaria sempre o mesmo valor, e ela precisa retornar "m" valores diferentes, onde "m" é o grau da equação.

R precisa ser simétrico de uma forma "parcial", onde as diferentes soluções "espalhem" as raízes de forma bem diferente. Não é permitido, por exemplo, exigir que x1 fique sempre como o 1o parâmetro.

Ainda outra simetria que R precisa apresentar é: o seu valor tem de mudar quando os parâmetros são "rotacionados" -- por exemplo, quando x2 ocupa o lugar de x1, x3 ocupa o de x2... até x1 ocupar o lugar de x(m).

No caso de Báscara, tudo isto é fácil de atender, pois R tem de retornar 2 valores diferentes, para que possamos achar 2 raízes. Como só há 2 permutações possíveis, "vocês são tudo da mesma casa, capitão!".

No caso das equações do 3o grau, R^1/m em função das raízes aceita 3 parâmetros: x1, x2 e x3, o que nos dá 6 combinações possíveis. Mas a função que procuramos só pode retornar 3 valores diferentes.

Seria possível construir tal função, e usando apenas aritmética? Sim, é. Exemplo:

f(a, b, c) = ab + bc - ac

Esta função não é simétrica, mas retorna apenas 3 valores diferentes conforme a, b e c são permutados. Tão importante quanto isso, é que ela não "prende" nenhum valor a determinado local. Para cada possível valor de retorno, podemos encontrar cada variável num lugar diferente.

Assim, segundo Abel, se existe uma função R^1/m que atende aos requisitos de simetria, então existe solução para a equação de grau "m". Nós acabamos de provar que existe solução para equações de 3o grau, mas isto nós já sabíamos...

Agora, no caso da equação quártica, vejamos se existe uma função de 4 variáveis que atende aos requisitos. Na verdade a resposta rápida é que "sim, pois 4 não é primo", mas mesmo assim vamos tentar à mão:

f(a, b, c, d) = ab - cd

Uma função de 4 parâmetros admite, em tese, 24 combinações diferentes, com 24 resultados diferentes. Mas esta equação acima retorna apenas 4 valores diferentes, muda o valor a cada rotação, e não "prende" nenhum parâmetro a um lugar fixo. Assim, todos os requisitos estão atendidos, e existe solução para equações do 4o grau.

(Note que a função (ab + cd) não satisfaz nossa necessidade porque ela apresenta apenas 2 valores diferentes, para todas as possíveis permutações dos 4 argumentos. Só importa se "a" é multiplicado por "c" ou por "d"; os demais argumentos caem obrigatoriamente na 2a parcela.)

No caso da equação quíntica, precisamos achar uma função que retorne exatamente 5 resultados mediante 5 parâmetros (e 120 permutações). Aqui, a vaca vai pro brejo, pois não existe uma função que atenda os requisitos.

Considere a seguinte função:

f(a,b,c,d,e) = a + b + c + d - e

e supondo os argumentos valendo 1, 10, 20, 30, 40. Esta função só pode retornar 99, 81, 61, 41 e 21. Este é o único jeito de fazer uma função de 5 parâmetros retornar 5 valores: torná-la simétrica sobre 4 argumentos.

No entanto, em TODAS as combinações em que esta função retorna 99, temos e=1, ou seja, estamos "prendendo" um parâmetro numa posição para garantir determinado resultado, e isto desqualifica a função como candidata a R, que resolve a equação algébrica de 5o grau.

Isto refere-se a uma hipotética solução GERAL da equação de 5o grau, tal qual Báscara o é para 2o grau. Algumas equações de 5o grau podem ser resolvidas algebricamente, quando duas ou mais raízes são iguais -- de que o exemplo mais dramático é:

x⁵-1 = 0
x = as cinco raízes quintas de 1